R n. u(x)e ix y dx, y R n (2π) n 2. f L 1 (Rµ. f(x) cos(yx) dx = 0. f(x) sin(yx) dx = lim. lim. lim. f(x)e ixy dx = 0, Ð Ó ˆf(y) 0 Ö y

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "R n. u(x)e ix y dx, y R n (2π) n 2. f L 1 (Rµ. f(x) cos(yx) dx = 0. f(x) sin(yx) dx = lim. lim. lim. f(x)e ixy dx = 0, Ð Ó ˆf(y) 0 Ö y"

Pamela Böhm
vor 6 Jahren
Abrufe

1 ½¾º½ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù L µ u L ( n ) Úº ÓÑÔÐ ÜÛ ÖØ µ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ û(y) := u(x)e ix y dx, y n (π) n n ÒÚ Ö ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ ǔ(y) := u(x)e ix y dx, y n (π) n n Ñ ½µ ÁÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ö Ò y n e ±ix y =, u L ( n ) ¾µ ÃÓÒ Ø ÒØ Ò Ò Ö º Ù Ó Ø (π) n ÞÛº ½ ÈÖÓ Ù Ø Ö ÃÓÒ Ø ÒØ Ò ÑÙ (π) n Òº Ä ÑÑ ½¾º½ Ê Ñ ÒÒµ f L (µ lim y f(x) sin(yx) dx = lim y f(x) cos(yx) dx = 0 Ò ÓÒ Ö lim y f(x)e ixy dx = 0, Ð Ó ˆf(y) 0 Ö y Ò ÐÝ Ú Ðº Û Ö Ä Ñ sin(yx) y 0 0µ ½

2 Ë ØÞ ½¾º½ Ê Ñ ÒÒ¹Ä Ù µ Ë f L ( n )º ˆf(y) C 0 ( n ) := {g C( n ) g(y) 0 Ö y }, ˆf L ( n ) (π) n f L ( n ) Ñ Ø Ä Ù Ö ÓÑº ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÓÐ Ø ˆf(y) C( n ). ˆf(y) y 0 ÓÐ Ø Ù Ä ÑÑ ½¾º½ Ñ n µ. ˆf(y) f(x) dx = f (π) n (π) n L n Ë ØÞ ½¾º¾ ÈÐ Ò Ö Ðµ u L ( n ) L ( n ) û, ǔ L ( n ) ÙÒ û L ( n ) = ǔ L ( n ) = u L ( n ) ½º Ë Ö ØØ v, w L ( n ) ˆv, ŵ L ( n ) ÐØº Ë ØÞ ½¾º½µ ÖÒ Ö v(x) ŵ(x) dx = (π) n v(x)w(y)e ix y dx dy = n L L ˆv(y)w(y) dy y v ε (x) := e ε x, ε > 0 ˆv ε (y) = e 4ε (ε) n ŵ(y)e ε y 0, ÑÓÒÓØÓÒ Û º dy = (ε) n ¾º Ë Ö ØØ u L L Û Ð v(x) := ū( x) L L w := u v L ( n ) C( n ) ÜÔÐ Þ Ø ØÖ Ö Ê ÒÙÒ µ w(x)e x 4ε dx ½¾º½µ ¾

3 ½¾º½ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ C( n ) Ñ Ø Ä Ù ³ ÓÑº ÃÓÒÚ Ö ÒÞ L ( n ) Ñ Ø ÓÙÒ ÍÒ Ð ÙÒ u v L u L v L ÐØ = (π) n ûˆv L ( n ) ÐØº Ë ØÞ ½¾º½µ ˆv(y) = (π) n ū( x)e ix y dx = û(y) ŵ Satz.3(c) n ŵ = (π) n û 0 w Ø Ø Ø w(x) e x 4ε (ε) n (π) n δ Ò D dx ε 0 (π) n w(0) Ù ½¾º½µ Ñ Ø ε 0, ŵ(y)e ε y L + (n )µ ŵ L ( n ) Ñ Ø n ŵ(y) dy = (π) w(0) û dy = w(0) w=u v = u(x)v( x) dx = u dx n ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù L º ÚÓÒ û Ö u L ( n ) Û Ð {u k } k N L ( n ) L ( n ) Ø Ò L Ñ Ø u k u Ò L ( n ) Ñ Ø Ë ØÞ ½¾º¾ û k û j L = u k u j L = u k u j L, Ð Ó {û k } Ø Ò L û k ÓÒÚ Ö ÖØ Ò Ò Ò ÙØ Ø ÑÑØ µ û L ( n ) Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ û Ø ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ï Ð ÚÓÒ {u k } ÙÒ u L = û L º

4 Ë ØÞ ½¾º Ë Ò u, v L ( n ) (a) u v dx = û ˆv dy È Ö Ú Ð³ Ð ÙÒ µ n n (b) α u = (iy) α û α N n 0, Ö α u L ( n ) (c) û v = (π) n ûˆv (d) u(y) = (π) n û(x)e +ix y dx = (û) (y) Ö º º y n ÁÒÚ Ö ÓÒ ÓÖÑ Ðµ n µ Ò u, v L ( n ), β C ÐØ º º u + βv L = û + βv L, u + βv +ūβv + uβv dx = Ñ Ø ÈÐ Ò Ö Ð Û Ð β =, i Ä Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ð ÖØ u v = û ˆvº µ Ö Ø Ù Ò Ø ÓÒ Ô u = y û; x u = iy û µ Ë Ñ Ö¹Ë Ö ÔØ µ Ë Ñ Ö¹Ë Ö ÔØ û + βv + û βv + ûβˆv dy Ñ Ì ÙÒ ÒÚ Ö Ìµ Ø Ø Ø Ö ÓÑ ØÖ Ö Á ÓÑÓÖÔ ÑÙ Ù L ( n )º ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù L p, p Û Ò ˆf L (π) n f L ˆf L = f L } f L ( n ) L ( n ) ÙÖ ÓÒÚ Ü ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Þº º Ë ØÞ ÚÓÒ Ê Þ¹Ì ÓÖ Òµ f L p ( n ), Ö Ò p [, ] ˆf L q ( n ), p + q = Ñ Ø ˆf L q (π) ( n n p ) f L p À Ù ÓÖ ¹ ÓÙÒ ÍÒ Ð ÙÒ µ

5 ½¾º½ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÓ ÓÐ Ú ÊÙÑ Ù n Ë ØÞ ½¾º Ë Ò k N 0 u L ( n )º ÐØ µ u H k ( n ) ( + y k )û L ( n ) µ ÆÓÖÑ Ò u H k ( n ) ( + y ) k û L ( n ) ÙÒ ( + y k )û L Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ µ u H k ( n ) α u L α k (iy) α û L α k Ð Ó Ò º y k û L Ë α N n 0 Ñ Ø α k y α = y α...yn αn y α, α = α α n α u L = (iy)α û L y α û dy C α ( + y k ) û dx (C α ) µ Ö Ø Ù ÚÓÒ µ Ô u H ( n ) ( + y )û L ( n ) û ÙÒ y û L ( n ) u ÙÒ u L ( n ) ÐÐ ½º ÙÒ ¾º Ð ØÙÒ Ò Ò ÒÒ Ù Ò L ( n ) Ö Ø Ð ËÓ ÓÐ Ú ÊÙÑ Ù n s º u H s ( n ) : ( + y ) û s L ( n ); Ö s N u H s ( n ) := ( + y ) û s L ( n ) Ô

6 ½µ ¾µ u H ( } + {{ n } ) u(0, x,..., x n ) H ( n ) L ( n ) À Ð Ö ÙÑ Ê Ò ÔÙÖ Ú Ðº º µ f H ( n ) fv dx D ( n ) Ø Ø Ø Ð Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù H ( n ) ÓÖÑ Ð Ê ÒÙÒ µ fv dx Satz.3a = ˆfˆv dy = À Ð Ö f H ( n ) v H ( n ) ˆf + y ˆv dy + y ÒÛ Ò ÙÒ ÐÐ ÔØ Ð ÙÒ Ò Lu = f, x n Û ÓÖÑÙÐ ÖÙÒ Ù H ( n ) Ù Ö f H ( n ) ÒÒÚÓÐÐ Ö f L µ Ñ Ö Ω n ÒÒ H s (Ω) Ù º Û Ö Ò Ö Ò Ø Ñ ØØ Ð Ìº ½¾º¾ ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ { ut = u xx, (0, ) u(x, 0) = u 0 (x) L () Ù ØÞ ÒÒ Ñ ÙÑ Ò ÙØ Ä ÙÒ ÞÙ Ö ÐØ Òµ u(, t) L (), t > 0; u(±, t) = u x (±, t) = 0 ÓÖÑ Ð Ê ÒÙÒ Ñ Ø Ì û(µ, t) = π(û)t = u(x, t)e iµx dx π u t e iµx dx = u xx e iµx dx = (u x + iµu)e iµx µ ue iµx dx

7 { ût = µ û û(µ, 0) = û 0 (µ) } û(µ, t) = û 0 (µ) e µ t =:ŵ(µ,t) π ½¾º¾ ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ Á È Ð ÛÙÖ Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ú Ðº Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒØÛ ÐÙÒ µ Ö Ö Ö Þ Ð Ö Ú Ð ÅÓ Ò µ µº u(x, t) = π û(µ, t)e iµx dx = π e µtû 0 (µ)e iµx dx û(µ, t) = û 0 (µ)ŵ(µ, t) π u(x, t) = u 0 (ξ)w(x ξ, t) dξ = 4πt u 0 (ξ)e (x ξ) 4t dξ, t > 0 Ñ Ø w(x, t) = π e µt e iµx dµ = π 0 e µt cosµx dµ =... = 4πt e x 4t, t > 0 Ä Ö Ï¹Ð Ø Ðº Ù ÙÒ Ñ ÒØ ÐÐ ÙÒ Ö ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ Ù n w(x, t) := (4πt) n e x 4t ; Ð Ø { ut = u, n (0, ) u(x, 0) = δ 0 ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ Ö ÙÐ Ö ÖØ Ð Ó Ù δ Ó ÓÖØ ÞÙ Ò Ö C ÙÒ Ø ÓÒº Ò Ø Ò ÚÓÒ w w(x, t) dx = t > 0 w C((0, ); L ( n )) Ñ Ø Ë ØÞ ÚÓÒ Ä Ù µ; w C ( + n ) w(., t) t 0 δ Ò D ( n ) ÐØ ÓÐ Ñ Ø ÅÏË Ö ÁÒØ Ö ÐÖ ÒÙÒ ÞÛº ÙÒ µ

8 Ë ØÞ ½¾º Ë u 0 L ( n ). Ö ÐÐØ u(t) := { w(t) x u 0, t > 0 u 0, t = 0 µ u C([0, ); L ( n )) C ( + n ) µ u Ð Ø u t = u Ù + n µ ÓÙÒ ¹ÍÒ Ð ÙÒ f g L r ( n ) f L p ( n ) g L q ( n ) r, p, q ; r = p + q t > 0 : u(t) = w(t) u 0 L ( n ) L ( n ) L ( n ) u(t) L u 0 L... Ø Ø Ò Ø ÚÓÒ Ø Ò ËØ Ø Ø Ö t > 0 u(t + h) u(t) L = [w(t + h) w(t)] u 0 L ÓÙÒ w(t + h) w(t) L u 0 L 0 Ø Ø Ò L ËØ Ø Ø Ò t = 0 ÅÓØ Ú Ø ÓÒ w(t) t 0 δ D ; δ ϕ = ϕ ϕ D Ö u 0 / Dµ t > 0 u(x, t) u 0 (x) = [u 0 (x ξ) u 0 (x)]w(ξ, t) dξ n Ð ÙÒ ½¾º½

9 ½¾º¾ ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ Ü Ö ε > 0 (t) > 0 Ó ºµ w(ξ, t) dξ = ε ξ >(t) (t) = C(ε) t 0 Ö t 0 [ u(t) u 0 L ] u 0 (x ξ) u 0 (x) dx w(ξ, t) dξ = = [ ] u 0 (x ξ) u 0 (x) dx w(ξ, t)dξ+ [ ] u 0 (x ξ) u 0 (x) dx w(ξ, t)dξ ξ >(t) ξ <(t) u 0 L ε + sup ξ <(t) u 0 (. ξ) u 0 L t 0 0 Î Ö ÙÒ Ø Ø Ò L ÙÒ ÞÛ Ñ Ø Ä Ù µ Á ÚÓÒ C Ë t > 0, α N n 0 α xu(t) = ( α } xw(t)) u {{} 0 C((0, ); L ()) Ò ÐÓ ÞÙ Ó Òº L u(t) C ( n ) ÓÐ Ø Ñ Ø ËÓ ÓÐ Ú¹ Ò ØØÙÒ W m, ( n ) := {f L ( n ) α f L ( n ) α m} C r ( n ), 0 r m n µ t > 0 u t u = (w t w) (t) u 0 = 0 =0 Ò Ö Ò Òµ Ñ Ö ÙÒ Å Ø Ö ËÔ ÐÑ Ø Ó Ö ÐØ Ñ Ò Ù Ä Ñ Ø ÈÓÐ Ò (x 0, 0) Ö ÏÖ¹ Ñ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ Ù (0, ) : w(x x 0, t) w(x + x 0, t). L¹Ô Ö Ó ÓÖØ ØÞÙÒ ÚÓÒ ÈÓÐ ¹ ËÔ ÐÔÓÐµ Ð ÖØ Ä Ö x (0, L) t > 0

10 t x 0 0 x 0 L L x 0 L L + x 0 x ½¾º Ë Ö Ò Ö Ð ÙÒ { iut = u, x n, t u(x, 0) = u 0 (x) u, u 0 ººº ÓÑÔÐ ÜÛ ÖØ ½¾º¾µ ½¾º¾µ ÒØ Ø Ø Ù Ö ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ ÙÖ ÓÖÑ Ð ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ t it Ä ÙÒ Ú Ö Ù ÌÖ Ò ÓÖÑ Ö t it Ò Ä Ö ÏÖÑ Ð ØÙÒ Ð ÙÒ º u(x, t) = u 0 (ξ) e i x ξ (4πit) n 4t dξ; t 0, x n n Ä Ö Ë Ö Ò Ö Ðº Ù n ½¾º µ i := e iπ 4 Ä ÑÑ ½¾º¾ µ u 0 L ( n ) t 0 : u(, t) L ( n ) Ñ Ø u(, t) L ( n ) u (4πt) n 0 L ( n ) µ u 0 L ( n ) t 0 : u(, t) L ( n ) Ñ Ø u(, t) L ( n ) = u 0 L ( n ) Ú Ðº º¹ Ôºµ ½¼

11 ½¾º Ë Ö Ò Ö Ð ÙÒ µ Ö Ø Ù ½¾º µ u(x, t) (4πt) n u o (ξ) dξ µ ½º Ë Ö ØØ Ù ØÞ ÒÒ Ñ u 0 L ( n ) L ( n ) t 0 Ø u(x, t) = e i x 4t (4πit) n u(, t) L = (π)n (4πt) n n n i ξ u 0 (ξ)e 4t =:v 0 (ξ) L ( n ) e ix ξ t dξ v (π) n 0 (ξ)e i x t ξ dξ :ˆv 0 ( x t ) dx = (t) n ˆv0 ( x t ) dx = ˆv 0 L ( n ) = v 0 L = u 0 L µ ¾º Ë Ö ØØ ÔÔÖÓÜ Ñ Ö u 0 L ( n ) ÙÖ {u k } L ( n ) L ( n ) Û Ò º ÚÓÒ Ì Ù L µº Ë ØÞ ½¾º µ Ë u 0 L ( n ) u C(, L ( n )) u Ø Û Ä ÙÒ ÚÓÒ iu t = u µ Ë ( + x )u 0 L ( n ) ½¾º µ Ö ÐÐØ iu t = u ÔÙÒ ØÛ x n, t {0} µ u L (, L ( n )) Ò Ä ÑÑ ½¾º¾ Þ Ø ËØ Ø Ø Ò Ë ØÞ ½¾º º ÞÞ u( ϕ iϕ t ) dx dt = 0 ϕ D( n+ ) n u ϕ dx dt = (4πit) n u (4πit) n 0 (ξ)ϕ(x, t) =... = i uϕ t dx dt Ô ÖØº ÁÒØº Ò x = u 0 (ξ) ϕ(x, t)e i x ξ 4t [ ni x ξ t 4t ] e i x ξ 4t dx dt dξ dx dt dξ ½½

12 µ Ò ØÞ Ò ÐÐ ÁÒØ Ö Ð ÚÓÒ u, u t, u ÓÒÚ Ö Ö Òµ Ò Ö Ò Ä ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ T(t), t Ö ½¾º¾µ Ù L ( n ) u 0 u(, t) { u0, ÐÐ t = 0; Ð Ó T(0) = I T(t)u 0 = u(x, t), ÐÐ t 0 Ë ØÞ ½¾º {T(t), t } Ø C 0 ¹ ÖÙÔÔ ÚÓÒ ÖÒ Ø Ò ÇÔ Ö ØÓÖ Ò Ù L ( n )º T(t) Ø Á ÓÑ ØÖ º L := i Ñ Ø D(L) = H ( n ) Ø Ò Ò Ø Ñ Ð Ö Ò Ö ØÓÖº û(y, t) = T(t)u 0 (y) = û 0 (y) L L e i y t ½¾º µ Ó Ò ØÖ Ö µ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ù Ì¹Ë Ö Ò Ö Ðº û t = i y û Ù ½¾º µ µ T(t + s)u 0 = T(t)T(s)u 0 t, s ÖÙÔÔ µ µ T(t)u 0 L = u 0 L t Á ÓÑ ØÖ µ µ T(t)u 0 C(, L ( n )) Ø Ö ËØ Ø Ø Ñ Ø ÓÑ Ò ÖØ Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞµ T(t)u 0 C(, L ( n )) µ Ò Ö ØÓÖ D(L) = {u L u L } = H ( n ) ÐØº Ôº ½ ÞºÞº u H () ÐØ ÞÛº T(t)u u lim t 0 t T(x)u û lim t 0 t = i u Ñ L ¹Ë ÒÒµ = i y û ½¾

13 ½¾º Ä ÔÐ Ð ÙÒ Ò À Ð Ò Ö Ä Ù ³ ÓÑº ÃÓÒÚ Ö ÒÞ T(t)u û µ lim = lim û(y) e i y t = i y û(y) y n t 0 t t 0 t û(y)e i y t µ t = y û(y) cosλ i sin λ λ λ Ñ Ø λ = y tµ ( ) ÅÏË y sin( λ) λ û(y) λ + y û(y) Ñ Ø λ [0, λ] Ð Ó Ð Ñ ÖÒ Ø Þ Ð tµ ½¾º Ä ÔÐ Ð ÙÒ Ò À Ð Ò u = 0, (0, ) u(x, 0) = f(x), x ÒÒ Ñ Ë f L û(µ, y) := u(x, y)e iµx dx ½ ¹ Ì Þº Üµ π ÙÒ u(x, y) = π û(µ, y)e iµx dµ (û) yy = (û yy ) = û xx = µ û; µ, y > 0 ÒÒ Ñ û ÖÒ Ø Ö y Ê û(µ, 0) = ˆf(µ); µ û(µ, y) = ˆf(µ) L () e} µ y {{} :=ŵ(µ, y) L (µ), y > 0 π ½

14 ÁÒÚ Ö Ì Ü Ø ÖØ Ö y > 0 w(x, y) = π = π e µ y e iµx dµ 0 e µ(y+ix) dµ + u(x, y) = f x w = π 0 e µ( y+ix) dµ =... = yf(ξ) (x ξ) + y dξ ÈÓ ÓÒ³ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÖÑ Ð Ö À Ð Ò Ú Ðº º½µ y π(x + y ), y > 0 ½

15 Ê Ö ÒÞ Ò º Ë Ñ Ö È ÖØ ÐÐ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò ÎÓÖÐ ÙÒ Ö ÔØ ÌÍ¹Ï Ò ½ Äº º Ú Ò È ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÅË ½ ½

Ähnliche Dokumente

ψ(t, Ü) = e iet/ ψ(ü).

ψ(t, Ü) = e iet/ ψ(ü). Ã Ô Ø Ð Ö ÖÑÓÒ Ç Þ ÐÐ ØÓÖ ÒÞ Û Ë Ö Ò Ò ÒÒ Ò Ø Ò Ã Ø ÒÔÓØ ÒØ Ð Ö ÌÙÒÒ Ð Ø Ï Ö ØÓ ØÓÑ ÙÒ ÚÓÖ ÐÐ Ñ Ö ÖÑÓÒ Ç Þ ÐÐ ØÓÖº Ï ÒÒ Ë Ó Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ë º Ï ÒÒ Ò Ø Ò ÖÒ Ë Ó Ð Ò Ë Ò Ò Òº Ù Ø Ò ËÔÖ ÚÓÒ ÈÖÓ ÓÖ Ò ÁÒ Ñ Ã